فیبوناچی و نسبت طلایی
چرا «نسبت طلایی» همه‌جا در طبیعت دیده میشود؟
کرونوس – ریاضی پر است از اعداد اعجاب‌انگیز ولی هیچ‌یک از آنها به اندازه‌ی «نسبت طلایی» تخیل ما را به سمت خود جلب نمی‌کند. این عدد بارها و بارها از اهرام مصر گرفته تا سبزیجات، از هنر دوره‌ی رنسانس تا صدف نرم‌تنان انگار در همه‌جا دیده میشود و تفکر عموم بر این است که وجود این عدد درون طبیعت بسیار رایج است. مسأله فقط این است: چنین نیست!
ما تنها تشابهات به این عدد را می‌بینیم یا نمونه‌های ریاضی که این عدد در آنها وجود دارد ولی این ادعا که استفاده از نسبت طلایی در طبیعت گسترده است، به نظر اغراق‌آمیز می‌آید.
دو بحث عمده در مورد نسبت طلایی برمی‌گردد به اعداد فیبوناچی و مارپیچ‌های طلایی. عدد فیبوناچی یک مجموعه از اعداد را شکل می‌دهد که در آن هر عدد از حاصل‌جمع دو عدد قبل از آن به دست می‌آید. این دنباله به این شکل است: … – ۳۴ – ۲۱ – ۱۳ – ۸ – ۵ – ۳ – ۲ – ۱ – ۱. به نسبت (یا تقسیم) دو عدد کنار هم در این دنباله، عدد فیبوناچی گفته میشود که تقریبی است از نسبت طلایی. اغلب برگ‌ها و گلبرگ‌ها در این توزیع قرار می‌گیرند اما با این حال این قانون در مورد همه‌ی گیاهان صادق نیست و لذا نمی‌توان گفت چنین چیزی گستردگی دارد.
در این مباحث، مارپیچ‌های طلایی هم جایگاه خود را دارند. کلم رومی (Romanesco broccoli) و صدف ملوانک هر دو شامل مارپیچ‌های معمولی هستند ولی هیچ‌یک مارپیچ طلایی سنتی نیستند. مارپیچ طلایی هنگامی ایجاد میشود که شعاع مارپیچ هر ۹۰ درجه یک بار بر حسب نسبت طلایی افزایش یابد. در مورد صدف ملوانک، بهتر است بگوییم مارپیچی دارد که در هر ۱۸۰ درجه توسط نسبت طلایی گسترش می‌یابد. اما حتی این هم تقریبی بیش نیست.
گیاهان برای جذب بیشترین نور از خورشید مجبورند برگ‌هایشان را در زاویه‌هایی رشد دهند که تکرار نمی‌شوند. یک مقدار گنگ می‌تواند چنین ویژگی‌ای را برای گیاهان به ارمغان بیاورد. لذا مارپیچ‌هایی که ما در طبیعت می‌بینیم، نتایج این رفتار هستند. تمام این توزیعات بر اساس مارپیچ‌های لگاریتمی هستند که مارپیچ طلایی تنها یک نوع از آنها محسوب میشود.
اما چرا چنین است؟ یک پاسخ مختصر می‌تواند این باشد که طبیعت بسیار تنبل است و می‌خواهد کمترین کار را برای رسیدن به بیشترین بازده انجام دهد. روش کار هم چیزی مانند این است: «رشد کن! حالا به زاویه‌ی خاصی بچرخ و به همین شکل ادامه بده.» ایده‌ی مارپیچ‌ها در ریاضیات این مسأله را توسط فراکتال‌ها توضیح می‌دهد؛ الگوهای تکرارشونده‌ای که موجب ایجاد مارپیچ‌های لگاریتمی میشود. همچنین لازم است بدانیم که فراکتال‌ها در فیزیک کمترین میزان انرژی را دارند.
نسبت طلایی، قانونی شگفت انگیز در طراحی لوگو
در ریاضیات،معماری و یا هنر هنگامی که نسبت بخش بزرگ تر به بخش کوچکتر برابر با مجموع آن ها به بخش بزرگتر باشد را نسبت طلایی(Golden ratio) و یا عدد فی می گویند که عدد آن به طور تقریبی برابر ۱.فیبوناچی و نسبت طلایی ۶۱۸ می‌باشد. طراحان برندهای بزرگ نیز از این قانون شگفت انگیز طبیعت بهره می برند و طراحی لوگو خود را به گونه ای طرح ریزی می کنند تا هر چه بیشتر به این نسبت نزدیک شوند.
فی به چه معناست؟
فی،حرف فیبوناچی و نسبت طلایی اول نام فیدیاس یونانی، برترین پیکرتراش سبک کهن است که به احتمال زیاد فیدیاس، این نسبت عددی را در آثار هنری اش لحاض می کرده و از آثار مشهور او می توان از نیایشگاه آتنا در آکروپولیس آتن و فیبوناچی و نسبت طلایی تندیس زئوس، در ۵۰۰ سال قبل از میلاد، اشاره نمود.
نسبت طلایی و مارپیچ طلایی
روانشناسان معتقدند که زیباترین ساختار مستطیلی از دید انسان، مستطیلی است که نسبت طول به عرض آن عدد فی (نسبت طلایی) باشد. چرا که این نسبت در شبکیه چشم انسان رعایت شده به این دلیل انسان آن را زیباترین حالت می بیند.
مصریان از این نسبت(عدد فی) در ساخت اهرام مصر، کمک گرفته اند
نسبت دقیق استخوان‌های انسان به هم توسط لئوناردو داوینچی اندازه گیری شد و اعلام کرد که از نسبت طلایی تبعیت می کنند.
نسبت قد انسان نسبت به فاصله ناف تا پاشنه پا برابر عدد فی است.
استفاده شگفت انگیز از عدد فی در آفرینش انسان
نسبت فاصله نوک انگشتان تا آرنج به فاصله مچ تا آرنج برابر عدد فی می باشد.
بیستون کرمانشاه در دوره هخامنشی، از این نسبت تبعیت نموده است. (به طول ۵ کیلومتر و عرض ۳ کیلومتراست. ۱٫۶=۵:۳ )
در معماری تخت جمشید، ارتفاع سر درها به عرض آنها عدد فی را تشکیل می دهد
فاصله کعبه از قطب شمال برابر ۷۶۲۶ کیلومتر و از قطب جنوب برابر ۱۲۳۹۰کیلومتر است که حاصل تقسیم این دو عدد ۱.۶۲۴۷ خواهد شد.
عدد فی در طراحی لوگو
با مقدمه ای که ذکر شد می توان نتیجه گرفت که عدد فی یک نسبت ذاتی و خارق العاده در طبیعت است که هر چه المان های بصری در معماری و طراحی به این عدد نزدیک تر شوند، ساختاری پایدارتر، منظم تر و زیبا تر به خود می گیرند.
طراحان برندهای بزرگ نیز از این قانون شگفت انگیز طبیعت بهره می برند و طراحی لوگوی خود را به گونه ای طرح ریزی می کنند تا هر چه بیشتر به این نسبت نزدیک شوند.
فیبوناچی کیست؟
در صورتیکه یک ماه طول بکشد تا خرگوشها به حد بلوغ برسند و یک ماه نیز زمان لازم باشد تا در نتیجه تولید مثل یک جفت جدید به مزرعه اضافه شود، با فرض اینکه هیچکدام فرار نکنند یا نمیرند تعداد جفت های آنها بصورت سری عددی زیر افزایش خواهد یافت:
این اعداد به سادگی با جمع نمودن دو عدد قبلی بوجود می آید مثلا:
- ۲ از جمع دو عدد قبل خود ( ۱ + ۱ ) به دست آمده است.
- به طور مشابه، ۳ از جمع دو عدد قبل خود ( ۲ + ۱ ) به دست آمده است.
- و ۵ از جمع ( ۳ + ۲ ) به دست می‌آید.
- و به همین ترتیب ادامه می‌یابد!
مارپیچ فیبوناچی
اگر بر اساس اعداد فیبوناچی، تعدادی مربع کنار هم رسم کنیم، شکلی به صورت زیر به دست می‌آید.
در این شکل ابتدا دو مربع با ضلع ۱ رسم میشوند. سپس یک مربع با ضلع ۲، سپس یک مربع با ضلع ۳ و به همین صورت تا بینهایت. نکته اینجاست که هر مربع جدید، یک ضلع مشترک با مربع‌های قبلی داشته باشد.
حال بیاییم در هر مربع، یک ربع دایره به شعاع ضلع مربع بکشیم. در این صورت، شکل مارپیچ زیر به دست می‌آید. البته این شکل دقیقا مارپیچ نیست ولی با دقت زیادی به یک مارپیچ نزدیک است.
این نوع مارپیچ در طبیعت به وفور دیده میشوند. در زیر برخی ازین اشکال را می‌بینید.
به سادگی میتوان فهمید که نتیجه آزمایش فیبوناچی روی خرگوش ها چیزی فراتر از یک قانون در دنیای خرگوش هاست. این دنباله از اعداد یک قانون است که جهان ما بطرز عجیبی از آن پیروی می کند و طی قرون متمادی دانشمندان زیادی را شیفته خودش کرده است.
جهت مشاهده بخش های رایگان آموزش بورس دوره سهامدار موفق بر روی دکمه آموزش رایگان بورس کلیک نمایید.
نسبت طلایی چیست؟(۱٫۶۱۸)
خاصیت جذاب دنباله ی فیبوناچی در این است که وقتی هر کدام از عددهای آن را به عدد قبل از خودش تقسیم کنیم، به عددی نزدیک به ۱٫۶۱۸ می رسیم که به “نسبت طلایی” مشهور است. یونانی ها این نسبت را با حرف “فی” نشان می‌دهند و آن را به عنوان “نسبت الهی” می شناسند.
در هر کندویی در هر گوشه از دنیا وقتی تعداد زنبورهای ماده را به نر تقسیم می کنیم به یک عدد ثابت می رسیم: ۱٫۶۱۸
شاخ و برگ درخت ها به صورت تصادفی در جهات مختلف رشد نمی کنند
دانه های آفتابگردان به شکل مارپیچ هایی روبروی هم رشد می کنند. نسبت قطر هر مارپیچ به مارپیچ بعدی ۱٫۶۱۸ است.
این نسبت در بدن انسان ها هم هست؛ اگر فاصله سر تا زمین را تقسیم بر فاصله ی شکم تا زمین کنیم، به ۱٫۶۱۸ فیبوناچی و نسبت طلایی می رسیم. نسبت طول بزرگترین استخوان انگشت دست به طول استخوان متوسط برابر نسبت طلایی است؛ نسبت طول استخوان متوسط به استخوان کوچک هم همینطور. نسبت طول رشته ی DNA به عرض آن هم چیزی نزدیک به همان عدد فی است.
د‌رصورتی‌که تعدادی مربع با بُعدهایِ برابر با اعداد فیبوناچی رسم کنیم و خطی را در راستای قطر هر یک از مربع‌ها امتداد بدهیم، مارپیچ فیبوناچی شکل خواهد گرفت که همان مارپیچ صدف های نوتیلوس و حلزون ها ست.
گردبادها و منظومه ها در مسیری مشابه با مارپیچ فیبوناچی حرکت می کنند.نسبت قطر مارپیچ بزرگتر به مارپیچ کوچکتر در یک گردباد برابر با ۱٫۶۱۸ است. در کهکشان ها هم نسبت قطر مارپیچ بزرگتر به مارپیچ کوچکترهمان عدد شگفت انگیز فی است.
وقتی که سنگ هاى آسمانى با سطح زمین برخورد مى کنند، مسیرى شبیه مارپیچ فیبوناچی را طى مى کنند. عنکبوت ها شبکه تارهاى خودشان را براساس الگویی شبیه به مارپیچ فیبوناچی می تنند. میوه های درخت کاج، فیبوناچی و نسبت طلایی موج هاى اقیانوس ها، سرخس ها، شاخ جانوران و چیدمان گل های مروارید همگی از الگوی منحنی های این مارپیچ مرموز تبعیت می کنند.
اگر مارپیچ فیبوناچی را کامل رسم کنیم به مارپیچی می رسیم که ابتدا و انتهای آن نامعلوم است، این مارپیچ از هر دو طرف تا بی نهایت پیش می رود و هرگز به آخر نمی رسد.
من نمی دانم ۱٫۶۱۸ لابلای مارپیچ های آفتابگردان و انحنای ظریف میوه های کاج چه می کند و حضورش به دنبال کدام اسم رمز الهی است اما فکر می کنم دو بی نهایتی که مارپیچ فیبوناچی در آن جا خوش کرده بسیار شبیه سرنوشت آدم هاست که بین دو بی نهایت هستی گم شده اند؛ بین یک آغاز و یک پایان…
نسبت طلایی در مباحث عکاسی، معماری، هنر، موسیقی، طراحان گرافیک، بازرهای مالی و غیر… کاربرد فراوانی دارد.
کاربرد فیبوناچی در بازار های مالی(بورس)
باور جمعی بر این است که ناخودآگاه انسان به سمت نسبت طلایی ۱٫۶۱۸ میل می‌کند.
به‌عنوان‌مثال، معامله گران ازنظر روان‌شناختی با روندهای قیمت بیش‌ازحد طولانی ارتباط مناسب برقرار نمی‌کنند. تحلیل‌های نمودار قیمت، نقاط مشترک زیادی با طبیعت دارند، آن قسمت‌هایی از طبیعت که بر مبنای عدد طلایی ۱٫۶۱۸ ساخته‌شده بسیار زیبا و دل‌نشین است و آن مواردی که برخلاف این مقدار هستند بسیار زشت و چه‌بسا غیرطبیعی و مصنوعی به نظر می‌رسند. این‌یک بخش کوچک است که توضیح می‌دهد چرا وقتی از عدد ۱٫۶۱۸بسیار دور می‌شویم، احساسات نامناسب روندهای طولانی به وجود می‌آید.
پس از آن معامله گران نیز متوجه شدند که قیمت ها به نسبت های فیبوناچی واکنش نشان داده و تغییر جهت می دهند پس بنابر این می توان با استفاده از فیبوناچی نقاط چرخ قیمت را برای خرید و فروش پیدا کرد.
من فکر می کنم
نام واقعی وی لئوناردو پیزانو بگولو بود، و در سالهای مابین 1170 و 1250 در ایتالیا زندگی می کرده است. فیبوناچی” لقب وی بود، به معنی “پسر بوناچی”.
علاوه بر معروف شدن برای دنباله فیبوناچی، او برای گسترش اعداد هندی – عربی (مانند اعداد الان ما 9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 ) در اروپا به جای اعداد رومی ( … I, II, III, IV, V) کمک کرد. این اتفاق اروپایی ها و آمریکایی ها را از شر بسیاری از مشکلات نجات داد! باید از لئوناردو متشکر باشند.
روز فیبوناچی
روز فیبوناچی برابر 23 نوامبر (2 آذر) است.
هنرمندان قدیمی برای اضافه نمودن حس توازن و شكوه به یك صحنه ، مجسمه یا بنا مدتها از تركیب تناسب طلایی استفاده كرده‌اند . تركیب مزبور یك تناسب ریاضی بر اساس نسبت 1.618/1 بوده و در اغلب مواقع در طبیعت ، مثلا در صدف‌های دریایی و الگوی دانه‌های گل آفتابگردان و یا ساختار هندسی بازوهای میله‌ای كهكشانهای مارپیچی موجود در كیهان یافت میشود . امروزه سرنخ‌هایی از این نسبت طلایی در نانو ذرات ( شاخه نانو تكنولوژی ) بدست آمده است . در واقع هم در عالم خرد و هم در عالم كلان این تناسب بخوبی قابل شناسایی است . به فیبوناچی و نسبت طلایی هر حال به كار بردن این نسبت در طراحی‌های دستی و رشته‌های هنری كار راحتی نمی‌باشد ، برای اینكه هرگز نمی‌توان به مركز دوران مارپیچ رسید و این نقطه ، مركزی نامعلوم و غیر قابل دسترس است و تا بینهایت ادامه می‌یابد . به علت سهولت در ترسیم‌ها و كارهای عملی ، نسبت 1.6/1 در نظر گرفته میشود .
در ریاضیات، سری فیبوناچی به دنباله‌ای از اعداد گفته میشود که غیر از دو عدد اول، اعداد بعدی از جمعِ دو عددِ قبلیِ خود به‌دست می‌آید. اولین اعداد این سری عبارت‌اند از:
۰٬ ۱٬ ۱٬ ۲٬ ۳٬ ۵٬ ۸٬ ۱۳٬ ۲۱٬ ۳۴٬ ۵۵٬ ۸۹٬ ۱۴۴٬ ۲۳۳٬ ۳۷۷٬ ۶۱۰٬ ۹۸۷٬ ۱۵۹۷٬ ۲۵۸۴٬ ۴۱۸۱٬ ۶۷۶۵٬ ۱۰۹۴۶٬ ۱۷۷۱۱
این اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی، ریاضی‌دان ایتالیاییِ قرن سیزدهم میلادی، نام‌گذاری شده‌است.
در واقع فیبوناچی در سال ۱۲۰۲ به مسئله عجیبی علاقه‌مند شد. او می‌خواست بداند اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاری برای زاد و ولد آنها تعریف کند در نهایت نتیجه چگونه خواهد شد.
او برای حل این مسئله به یك سری از اعداد یا بهتر است بگوییم به یك دنباله رسید كه عبارت بود از . ,0،1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 كه در این دنباله هر عددی ( به غیر از صفر و یك اول ) حاصل جمع دو عدد قبلی خودش می‌باشد ، به طور مثال 3+5=8 یا 1+2=3 و .
علت بر اینكه در پایان ماه اول ، جفت اول به بلوغ میرسد و در پایان ماه دوم بعد از سپری كردن یك ماه بارداری ، یك جفت خرگوش متولد میشود كه جمعا دو جفت خرگوش خواهیم داشت ، در پایان ماه سوم جفت اول یك جفت دیگر به دنیا می‌آورد ولی جفت دوم به پایان دوران بلوغ خود میرسد كه در كل سه جفت خواهیم داشت در پایان ماه چهارم جفت اول و جفت دوم وضع حمل می‌كنند و تبدیل به چهار جفت میشوند و جفت سوم به بلوغ میرسد و در كل پنج جفت خواهیم داشت و الی آخر كه در پایان ماه دوازدهم تعداد 233 جفت خرگوش خواهیم داشت .
همانطور كه می‌دانیم عدد 233 توالی دوازدهم سری یا دنباله فیبوناچی است یعنی همان تعداد خرگوشها در پایان ماه دوازدهم .
سری فیبوناچی چه در ریاضیات چه در فیزیك و علوم طبیعی ، كاربردهای بسیار دیگری دارد ، ارتباط زیبای فاصله‌های خوش صدا در موسیقی ، چگونگی تولد یك كهكشان و . كه در مطالب آینده راجع به آنها بحث خواهیم كرد .
این الگو را می توان در گلبرگ‌ها یا دانه‌های بسیاری از گیاهان مثلاً آناناس ، گل داوودی ، گل كلم ، میوه‌های كاج و . مشاهده كرد .
خود انسان از ناف به نسبت فی تقسیم میشود . این نسبت نقش پیچیده‌ای در پدیده‌هایی مانند ساختار كریستال‌ها ، سالهای نوری فاصله بین سیارات و پریودهای چرخش ضریب شكست نور در شیشه ، تركیب‌های موسیقی ، ساختار سیاره‌ها و حیوانات بازی می‌كند . علم ثابت كرده است كه این نسبت به راستی نسبت پایه و مبنای خلقت جهان است . هنرمندان دوره رونسانس عدد فی را یك نسبت الهی می‌دانسته‌اند .
از زمانی كه هنرمندان و معماران به عمد شروع به استفاده از نسبت طلایی كردند ، نشان داده شد كه مخاطبان شیفتگی و شیدایی فیبوناچی و نسبت طلایی بیشتری نسبت به كارهای آنها از خود نشان دادند . مستطیل‌های طلایی ، مانند نسبت طلایی فوق‌العاده ارزشمند هستند . در بین مثال‌های بی‌شمار از وجود این نسبت و یكی از برجسته‌ترین آنها مارپیچ های DNA است . این دو مارپیچ فاصله دقیقی فیبوناچی و نسبت طلایی را با هم براساس نسبت طلایی حفظ می‌كنند و دور یكدیگر می‌تابند .
در حالی كه نسبت طلایی و مستطیل طلایی جلوه‌های زیبایی را از طبیعت و ساخته‌های دست انسان به نمایش می‌گذارد ، جلوه دیگری از این شكوه وجود دارد كه زیبایی‌های تحرك را به نمایش می‌گذارد. یكی از بزرگترین نمادهایی كه می‌تواند رشد و حركات كاینات را نشان دهد ، اسپیرال طلایی است. دیوید برگامینی در كتاب ریاضیاتش خاطرنشان می‌كند كه منحنی ستاره‌های دنباله‌دار از خورشید كاملا شبیه به اسپیرال لگاریتمی است . عنكبوت شبكه تارهای خود را به صورت اسپیرال لگاریتمی می‌بافد . رشد باكتری‌ها دقیقاً براساس رشد منحنی اسپیرال است . هنگامی كه سنگ‌های آسمانی با سطح زمین برخورد می‌كنند ، مسیری مانند اسپیرال لگاریتمی را طی می كنند . عدد فی Φ عددی مربوط به خلقت پروردگار یكتا است .
اسب‌های آبی ، صدف حلزون‌ها ، صدف نرم‌تنان ، موج‌های اقیانوس‌ها ، سرخس‌ها ، شاخ‌های جانوران و نحوه قرار گرفتن گلبرگ‌های گل آفتابگردان و چیدمان گل مروارید ، همه به صورت اسپیرال لگاریتمی است .
نسبت دو عضو متوالی دنباله:
اولین مطلبی که در زمینه ارتباط با دنباله فیبوناچی قابل ذکر است به این قرار است: دنباله را بار دیگر در نظر می‌بینیم:
نسبت جمله دوم به اول برابر است با فیبوناچی و نسبت طلایی ۱
نسبت جمله سوم به دوم برابر است با ۲
نسبت جمله چهارم به سوم برابر است با ۱٫۵
نسبت جمله پنجم به چهارم برابر است با ۱٫۶۶
نسبت جمله ششم به پنجم برابر است با ۱٫۶
نسبت جمله هفتم به ششم برابر است با فیبوناچی و نسبت طلایی ۱٫۶۲۵
نسبت جمله هشتم به هفتم برابر است با ۱٫۶۱۵
نسبت جمله نهم به هشتم برابر است با ۱٫۶۱۹
نسبت جمله دهم به نهم برابر است با ۱٫۶۱۷
به نظر میرسد که این رشته به عدد طلایی نزدیک میشود. اگر نسبت عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ می‌رسیم که با تقریب ۱۴ رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می‌دهد. نسبت جملات متوالی به عدد طلایی میل می‌کند.
هنگامیکه مربع های با پهناهایی برابر اعداد دنباله تشکیل می دهیم، یک مارپیچ مرتبی بدست می آید:
مشاهده می کنید که چگونه مربع ها نزدیک هم قرار گرفته اند؟
برای مثال 5 و 8، 13 را و 8 و 13، 21 را تشکیل می دهد و …
و سورپرایز اینجاست. هرچه اعضای دنباله فیبوناچی بزرگتر می شوند، نسبت هر عدد به عدد قبلی خود رفته رفته به عدد طلایی “φ” نزدیک می شود که حدودا برابر …1.618034 است.
در واقع، هرچه جفت اعداد فیبوناچی بزرگتر باشند، نسبت آنها تقریب عدد طلایی را دقیق تر می کند.
رابطه‌ی نسبت طلایی φ و بدن انسان
شاید تا به حال نام نسبت طلایی φ به گوشتان خورده باشد. این نسبت عجیب ریاضی ویژگی‌های بسیار جالبی دارد. در تعاریف آمده است که اگر یک پاره خط را به دو بخش نامساوی a و b تقسیم کنیم، به طوری که نسبت a+b بر روی a برابر با نسبت a بر روی b باشد، این نسبت حتماً برابر است با عدد 1.61803398 که نسبت طلایی نامیده میشود. نسبت طلایی تقریباً در همه‌جای هندسه و حتی در بسیاری از پدیده‌های طبیعی خلقت دیده میشود. φ از زمان‌های دور در میان ملل باستانی هم شناخته شد، زیرا در بررسی بسیاری از پدیده‌های پیرامون خود به آن می‌رسیدند.
برای آشنایی بیشتر با ویژگی‌های ریاضیاتی نسبت طلایی به مقاله‌ای که در سایت رشد در این باره وجود دارد رجوع کنید. در این مطلب سعی کردیم وجود عدد φ در بدن انسان را بررسی کنیم.
مارکوس ویترویوس پولئو (Marcus Vitruvius Pollio) معمار رومی قرن اول قبل از میلاد به شباهت میان بدن انسان و یک بنای دارای معماری عالی اشاره می‌کند و می‌گوید: «طبیعت بدن انسان را طراحی کرده است، بنابراین تک تک اعضای آن به طور ویژه و با دقت بالایی در چهارچوب اصلی قرار گرفته‌اند.» او بدن انسان را محاط در یک دایره و یک مربع توصیف کرد.
این دو شکل هندسی در آن زمان اشکال عالی و کامل دانسته می‌شدند، و این تصور که نسبت طلایی φ در بدن انسان به کار رفته است به طور عمومی پذیرفته شده بود. در قرن نوزدهم و با پیشرفت علوم، فردی به نام آدولف سیزینگ (Adolf Seizing) دوباره وجود نسبت طلایی فی را در بدن انسان بررسی کرد. البته او بیشتر از رهیافت دنباله‌ی فیبوناتچی استفاده کرد. سپس در قرن بیستم، دو طراح به نام‌های ارنس نئوفرت (Erns Neufert) و لی‌کربیوسر (Le Corbusier) این موضوع را بیشتر مورد کنکاش قرار دادند. تحقیقات اخیر بر افرادی از نژادهای هندی و آلمانی نشان می‌دهد که بدن انسان تا چه حد از عدد φ تبعیت می‌کند.
نسبت طلایی یافت شده در بدن انسان توسط سیزینگ
آدولف سیزینگ بسیار علاقه‌مند به ریاضیات و فلسفه بود. او پس از بازنشستگی پژوهش‌هایی را درباره‌ی وجود نسبت‌های ریاضی در هنر و طبیعت آغاز کرد. او در حوزه‌ی گیاه‌شناسی، وجود نسبت طلایی را در شاخه‌هایی که از تنه‌ی اصلی گیاه روییده‌اند و در میان رگ‌اهی داخل برگ‌ها کشف کرد. سیزینگ پس از این کشف، به دنبال نسبت طلایی در اسکلت حیوانات و رگ و اعصاب آنها، ساختارهای کریستالی و ترکیب‌های شیمیایی و … رفت.
او سرانجام به بررسی بدن انسان پرداخت. سیزینگ در سال 1854 مقاله‌اش را تحت عنوان« نظریه‌ی جدید تناسب بدن انسان؛ تشریح کامل یک قانون مورفولوژیک ساده که ناشناخته باقی مانده است» منتشر کرد. این قانون ساده همان نسبت طلایی بود. در شکل زیر آنالیز سیزینگ را درباره‌ی بدن انسان می‌بینید.
سیزینگ قد انسان را به چهار ناحیه‌ی اصلی تقسیم می‌کند: بالای سر تا شانه‌ها، شانه‌ها تا ناف، ناف تا زانو و زانو تا کف پا. هر ناحیه هم به پنج قسمت تقسیم شده که نسبت به آن ناحیه با هم مساوی هستند.: خواه مسیر ABBBA را در نظر بگیریم یا مسیر ABABA، مهم این است که در نهایت عبارت 2A+3B به دست می‌آید. نسبت سه دوم در هر ناحیه از بدن، یک پنجم کامل و در تساوی با مقیاس موسیقی است. آیا موسیقی هم در طراحی بدن ما انسان‌ها دخیل است؟
در سمت راست شکل شما می‌بینید که نسبت طلایی در هر کدام از نواحی بدن و در مقیاس‌های مختلف استفاده شده است. نسبت‌هایی که سیزینگ از بدن انسان به دست آورده، به زیبایی دنباله‌ی فیبوناتچی را نشان می‌دهد. او حتی در یک مورد عدد 90 را اشتباهاً به جای 89 قرار داده که ما آن را اصلاح کردیم. اعداد فیبوناتچی در طرح او ظاهر شده‌اند، اعداد سبز به طور صریح و اعداد بنفش به طور ضمنی در مجموعه‌ی دنباله‌ی فیبوناتچی هستند:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
با مجموعه کردن هر جفت از اندازه‌های متوالی و تکرار تقسیم آنها به بخش بزرگ (987) به اعداد متوالی فیبوناتچی می‌رسیم که با تقریب خوبی عدد φ را به ما می‌دهند. این موضوع قدرت نسبت طلایی برای تقسیم متوالی یک بخش و جمع ساده‌ی آن راس از اعمال اولین بخش‌بندی نشان می‌دهد. این نتیجه وجود طبیعت فراکتالی را در آفرینش بدن ما خاطرنشان می‌کند، زیرا در هندسه‌ی فراکتالی هم مانند بدن انسان، نسبت طلایی در همه‌ی مقیاس‌ها تکرار میشود.
نسبت‌های طلایی ارائه شده توسط طراحان نئوفرت و لی‌کربیوسر:
در قرن بیستم، ارنس نئوفرت (1986-1900) درباره‌ی نسبت طلایی به عنوان سنگ‌بنای اصلی تناسب در بدن انسان پژوهش‌هایی انجام داد. او دقیقاً کار سیزینگ را در استفاده از دنباله‌ی فیبوناتچی ادامه نداد، بلکه دقیقاً خود عدد φ را در بدن نشان داد. برای او، این نسبت طلایی حکم پیوند ابتدایی میان هماهنگی‌های طراحی و معماری را نیز داشت.
در قرن بیستم، تحلیل دیگری هم از نسبت‌های موجود در بدن انسان توسط لی‌کربیوسر (1965-1887) ارائه شد. او در رساله‌اش، نسبت طلایی را یک نظم ذاتی می‌داند که در اندام‌های همه‌ی انسان‌ها نهفته است. شکل زیر نسبت‌های اصلی بدن را که توسط لی‌کربیوسر تبیین شده‌اند نشان می‌دهد.
او در نسخه‌ی نهایی مدول دومش از دو نسبت استفاده کرده که هر دوی آنها، اعدادی از دنباله‌ی فیبونای هستند، یعنی حاصل جمع دو مقدار قبلیشان می‌باشند. این مدل محاسبه، شبیه به کار سیزینگ است. به هر روی، نسبت هر جفت از مقادیر متوالی در این روند، با تخمین خوبی به عدد φ نزدیک میشود.
یک مطالعه‌ی میدانی:
تی آنتونی دیویس (T. Antony Davis) از مؤسسه‌ی آمار هند و رودولف آلتووت (Rudolf Altevogt) از مؤسسه‌ی زولوژیک دانشگاهی آلمان یک بررسی میدانی را اجرا کردند. آنها نسبت‌های شعاعی بدن 207 دانش‌آموز را در کشور آلمان و 252 مرد جوان را در شهر کلکته‌ی هند اندازه گرفتند. این فیبوناچی و نسبت طلایی دو محقق اندازه‌های A,B,C,D,E را که در شکل زیر می‌بینید اندازه‌گیری کردند. بر اساس نتایجی که به دست آمد، آنها می‌توانستند به طور صریح اظهار کنند که کل قد بدن و طول کف پا تا ناف از نسبت طلایی تبعیت می‌کنند (E/D و D/C). شکل زیر نتایج بررسی آنها را به طور خلاصه نمایش می‌دهد. بیشترین شباهت به دست آمده در میان آلمانی‌ها بود (618/1) و کمترین شباهت هم در بین گروه هندی دیده شد (615/1).
